僕のヒーローアカデミア第167話（18巻）の問題を解いてみようと思います．

作者:堀越耕平
発売日: 2018/04/04
メディア: コミック

具体的には，次の定積分を計算する問題です．

$\displaystyle{ I := \int_{0}^{\ln (1+\sqrt{2})} \left( \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \right)^{3} \left( \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} \right)^{11} \; dx }$

下図の水色の領域の面積を計算する問題ですね． f:id:OCELOT:20200305172130p:plain

双曲線函数

表記を簡単にするために，「双曲線函数」というものを導入します．双曲線函数とは指数関数 $e^{x}$ を用いて

$\displaystyle{ \sinh x = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \\ \cosh x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} \\ \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} }$

と定義されます．特に今回は $\sinh x$ （ハイパボリックサイン，hyperbolic sine）， $\cosh x$ （ハイパボリックコサイン，hyperbolic cosine）を使います． $\sinh x$ ， $\cosh x$ の性質として，次のものが知られています．

$\displaystyle{ \frac{d}{dx} \sinh x = \cosh x \\ \frac{d}{dx} \cosh x = \sinh x \\ \cosh^{2} x - \sinh^{2} x = 1 }$

ぜひ手を動かして確認してみてください．

また，微分の連鎖律から直ちに次の式も得られます．

$\displaystyle{ \frac{d}{dx} \sinh^n x = n \cdot \cosh x \cdot \sinh^{n-1} x \\ \frac{d}{dx} \cosh x = n \cdot \sinh x \cdot \cosh^{n-1} x }$

双曲線函数は面白い函数なので，詳しく知りたい方はWikipediaなどを参照してください．

解いてみる

まず，この定積分は $\sinh x$ と $\cosh x$ を使って次のように表せます．

$\displaystyle{ I = \int_{0}^{\ln (1+\sqrt{2})} \sinh^{3} x \cdot \cosh^{11} x \; dx }$

双曲線函数の関係式

$\displaystyle{ \cosh^{2} x - \sinh^{2} x = 1 }$

より，

$\displaystyle{ \begin{eqnarray} I &=& \int_{0}^{\ln (1+\sqrt{2})} \sinh x \cdot (\cosh^{2} x - 1)\cdot \cosh^{11} x \; dx \\ &=& \int_{0}^{\ln (1+\sqrt{2})} \sinh x \cdot \cosh^{13} x \; dx - \int_{0}^{\ln (1+\sqrt{2})} \sinh x \cdot \cosh^{11} x \; dx \\ &=& J - K \end{eqnarray} }$

と書けます．ただし，

$\displaystyle{ J = \int_{0}^{\ln (1+\sqrt{2})} \sinh x \cdot \cosh^{13} x \; dx \\ K = \int_{0}^{\ln (1+\sqrt{2})} \sinh x \cdot \cosh^{11} x \; dx }$

とおきました．これらをそれぞれ計算してみようと思います．

部分積分の公式と $J$ の定義から，

$\displaystyle{ \begin{eqnarray} J &=& \int_{0}^{\ln (1+\sqrt{2})} \sinh x \cdot \cosh^{13} x \; dx \\ &=& \left[ \cosh^{14} x\right]_{0}^{\ln (1+\sqrt{2})} - \int_{0}^{\ln (1+\sqrt{2})} \cosh x \cdot \left( 13\cdot \sinh x \cdot \cosh^{12} x\right) \; dx \\ &=& \left[ \cosh^{14} x\right]_{0}^{\ln (1+\sqrt{2})} - 13 \int_{0}^{\ln (1+\sqrt{2})} \sinh x \cdot \cosh^{13} x \; dx \\ &=& \left[ \cosh^{14} x\right]_{0}^{\ln (1+\sqrt{2})} - 13 J \end{eqnarray} }$

と変形できるので，

$\displaystyle{ J = \frac{1}{14} \left[ \cosh^{14} x\right]_{0}^{\ln (1+\sqrt{2})} }$

が得られます．同様の計算で， $K$ に関しても

$\displaystyle{ K = \frac{1}{12} \left[ \cosh^{12} x\right]_{0}^{\ln (1+\sqrt{2})} }$

という式が得られます．ここで，

$\displaystyle{ e^{\ln (1+\sqrt{2})} = 1 + \sqrt{2}, \quad e^{- \ln (1+\sqrt{2})} = \frac{1}{1 + \sqrt{2}} = - 1 + \sqrt{2} }$

より，

$\displaystyle{ \cosh \left( \ln (1 + \sqrt{2} ) \right) = \frac{e^{\ln (1+\sqrt{2})} + e^{- \ln (1+\sqrt{2})}}{2} = \sqrt{2} }$

と変形できるので，

$\displaystyle{ \begin{eqnarray} J & = & \frac{1}{14} \left[ \cosh^{14} x\right]_{0}^{\ln (1+\sqrt{2})} \\ & = & \frac{1}{14} \left( 2^7 - 1 \right) \\ K & = & \frac{1}{12} \left[ \cosh^{12} x\right]_{0}^{\ln (1+\sqrt{2})} \\ & = & \frac{1}{12} \left( 2^6 - 1 \right) \end{eqnarray} }$

となります．これらを $I = J - K$ に代入してあげれば，

$\displaystyle{ \begin{eqnarray} I &=& J - K \\ &=& \frac{1}{14} \left( 2^7 - 1 \right) -\frac{1}{12} \left( 2^6 - 1 \right) \\ &=& \frac{107}{28} \end{eqnarray} }$